Question

5．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，其导函数y=f′（x）的图象经过点（0，0），（2，0）．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-1，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导函数，通过导函数经过的点，求解a，b的值．
（2）求出导函数的零点，得到函数的极值，与端点函数值比较，可得函数的最值．

解答 解：（1）函数f（x）=x³+ax²+bx+c，其导函数y=f′（x）=3x²+2ax+b，
导函数y=f′（x）的图象经过点（0，0），（2，0）．
可得b=0，a=-3．
（2）由（1）可得f（x）=x³-3x²+c，f′（x）=3x²-6x，
令3x²-6x=0，解得x=0或x=2，
当x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，
当x＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，
x=0函数取得极大值，x=2时函数取得极小值；
f（-1）=c-4，f（0）=c，f（2）=c-4，f（3）=c．
函数f（x）在区间[-1，3]上的最大值：c，最小值为：c-4．

点评 本题考查函数的对数的综合应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查计算能力．