Question

10．设函数f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=ax-2a．
（1）当x＞1时，方程f（x）=0有解，求a的取值范；
（2）若存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=x²-ax+a+3的图象恒过定点（1，4），若方程f（x）=0有解，△=a²-4（a+3）≥0即a≤-2或a≥6，结合二次函数的图象和性质，分类讨论可得答案．
（2）g（x）=ax-2a的图象恒过定点（2，0），利用这两个定点，结合图象解决．

解答 解：（1）由f（x）=x²-ax+a+3知f（1）=4，
由△=a²-4（a+3）≥0即a≤-2或a≥6，
故由函数的图象知：

①若a≤-2时，函数f（x）=x²-ax+a+3图象的对称轴x=$\frac{a}{2}$＜-1，
当x＞1时，方程f（x）=0无解，
②若a≥6时，函数f（x）=x²-ax+a+3图象的对称轴x=$\frac{a}{2}$＞3，
当x＞1时，方程f（x）=0有解，
综上所述，a的取值范为[6，+∞）．
（2）∵存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0，
知△=a²-4（a+3）＞0即a＜-2或a＞6，
另g（x）=ax-2a中恒过（2，0），
故由函数的图象知：
①若a＞6时，g（x₀）＜0?x₀＜2，
此时函数f（x）=x²-ax+a+3图象的对称轴x=$\frac{a}{2}$＞3，
f（x₀）＜0?$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ f（2）＜0\end{array}\right.$，
解得：a＞7，
②若a＜-2时，g（x₀）＜0?x₀＞2，
此时函数f（x）=x²-ax+a+3图象的对称轴x=$\frac{a}{2}$＜-1，
故函数在区间（$\frac{a}{2}$，+∞）上为增函数，
又∵f（1）=4，
∴f（x₀）＜0不成立．
综上所述，a的取值范围为（7，+∞）．

点评 充分挖掘题目中的隐含条件，结合图象法，可使问题的解决来得快捷．本题告诉我们，图解法对于解决存在性问题大有帮助．