题目内容
9.如图,将长$A{A^'}=3\sqrt{3}$,宽AA1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱,如图所示:(1)求异面直线PQ与AC所成角的余弦值;
(2)求三棱锥A1-APQ的体积.
分析 (1)在B1B上取一点D,使得B1D=1,连结A1D,C1D,即可求异面直线PQ与AC所成角的余弦值;
(2)利用等体积转化,即可求三棱锥A1-APQ的体积.
解答 解:(1)由已知,三棱柱为直三棱柱,PB=1,QC=2,
在B1P上取一点D,使得B1D=1,连结A1D,C1D,则PQ∥C1D,
∴∠A1C1D为直线PQ与AC所成的角…(3分)
又A1D=C1D=2,A1C1=$\sqrt{3}$,
在△A1C1D中,cos∠A1C1D=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,
∴直线PQ与AC所成的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$.…(7分)
(2)△A1AP的面积为$\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,点Q到平面A1AP的距离为$\frac{3}{2}$,
则${V}_{{A}_{1}-APQ}$=${V}_{Q-{A}_{1}AP}$=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.…(12分)
点评 本题考查直线PQ与AC所成的夹角的余弦值的求法,考查棱锥的体积的求法,考查学生分析解决问题的能力,正确转化是关键.
练习册系列答案
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