题目内容
【题目】若无穷数列满足:
,且对任意的
,
(
,
,
,
)都有
,则称数列
为“G”数列.
(1)已知等比数列的通项为
,证明:
是“G”数列;
(2)记数列的前n项和为
且有
,若对每一个
取
,
中的较小者组成新的数列
,若数列
为“G”数列,求实数
的取值范围?
(3)若数列是“G”数列,且数列
的前n项之积
满足
,求证:数列
是等比数列.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】
(1)由数列为等比数列,根据其性质即可得证;
(2)由,可得
,在根据其为“
”数列,得出实数
的取值范围即可;
(3)利用是“
”数列可以得出
,在利用比值的形式即可求证.
(1)因为等比数列通项为,
当,
时,
,
所以是“
“数列.
(2)因为,所以
,
因为无穷数列满足:
,可知
;
所以,
,
又,
从而,
考察到数列从第二项起为等比数列,则同第(1)问,
有当,
,
,
,
恒有
,
那么当时,由数列
为“
“数列
可知对任意的,
,
,
,
恒有
,
即有,等价于
,恒成立,
由,知
;
综上:.
(3)若数列是“
”数列,则
,
①当时,
;
;
;
;
叠乘即可得出
,即
;
②当时;
;
;
;
;
;即
;
即
;
综上所述:对任意的,均有
;
,
;①
②;
由
可得:
,即
③;
④;
由③
④可得:
;
;
数列
是等比数列;
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