题目内容
【题目】设是椭圆
上的两点,已知向量
,
,若
且椭圆的离心率
,短轴长为2,
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线过椭圆的焦点
(
为半焦距),求直线
的斜率
的值;
(3)试问:的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)三角形的面积为定值1.
【解析】
试题(1)根据条件可得,再设直线
的方程为:
,与椭圆联立方程组,利用韦达定理和已知条件
,即可求出
的值;(2)先考虑直线
斜率不存在的情况,即
,
,根据
,求得
和
的关系式,代入椭圆的方程求得
点的横坐标和纵坐标的绝对值,进而求得△AOB的面积的值;当直线
斜率存在时,设出直线
的方程,与椭圆联立方程组,利用韦达定理表示出
和
,再利用
,弦长公式及三角形面积公式求得答案.
试题解析:(1)由题可得:,
,所以,椭圆的方程为
设的方程为:
,代入
得:
∴,
,
∵,∴
,即:
即,解得:
(2)①直线斜率不存在时,即
,
∵
∴,即
又∵点在椭圆上
∴,即
∴,
∴,故
的面积为定值1
②当直线斜率存在时,设
的方程为
,
联立得:
∴,
,
∴
所以三角形的面积为定值1.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】运动健康已成为大家越来越关心的话题,某公司开发的一个类似计步数据库的公众号.手机用户可以通过关注该公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和好友进行运动量的PK和点赞.现从张华的好友中随机选取40人(男、女各20人),记录他们某一天行走的步数,并将数据整理如表:
步数 性别 | 0~2000 | 2001~5000 | 5001~8000 | 8001~10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 4 | 7 | 6 |
女 | 0 | 3 | 9 | 6 | 2 |
(1)若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”,否则被评定为“懈怠型”,根据题意完成下列2×2列联表,并据此判断能否有90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
(2)在张华的这40位好友中,从该天行走的步数不超过5000步的人中随机抽取2人,设抽取的女性有X人,求X=1时的概率.
参考公式与数据:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2=,其中n=a+b+c+d.
【题目】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时,可以一次性额外购买几次维修服务,每次维修服务费用200元,另外实际维修一次还需向维修人员支付小费,小费每次50元.在机器使用期间,如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数,则每维修一次需支付维修服务费用500元,无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数,得下面统计表:
维修次数 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 10 | 20 | 30 | 30 | 10 |
记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数,y表示1台机器在维修上所需的费用(单位:元),表示购机的同时购买的维修服务次数.
(1)若=10,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务,或每台都购买11次维修服务,分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务?
【题目】“微信运动”已成为当下热门的健身方式,小明的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
0~2000 | 2001~5000 | 5001~8000 | 8001~10000 | ||
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
(1)若采用样本估计总体的方式,试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率;
(2)已知某人一天的走路步数超过8000步时被系统评定为“积极型”,否则为“懈怠型”.根据小明的统计完成下面的列联表,并据此判断是否有
以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |