题目内容
【题目】已知定义域为的单调减函数
是奇函数,当
时,
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的解析式;
(Ⅲ)若对任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(I);(II)
;(III)
.
【解析】
(Ⅰ)利用定义域为R的函数f(x)是奇函数,求f(0)的值;
(Ⅱ)求出x<0的解析式,即可求f(x)的解析式;
(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,f(x)在R上是减函数,所以t2﹣2t>k﹣2t2.即3t2﹣2t﹣k>0对任意t∈R恒成立,利用判别式小于0即可求实数k的取值范围.
(Ⅰ)因为定义域为的函数
是奇函数,
所以.
(Ⅱ)因为当时,
,
所以.
又因为函数是奇函数,所以
.
所以.
综上,
(Ⅲ)由得
.
因为是奇函数,
所以.
又在
上是减函数,所以
.
即对任意
恒成立.
令,则
.由
,解得
.
故实数的取值范围为
.
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