Question

某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交元（1≤a≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为元（8≤x≤9）时，一年的销售量为(10－x)²万件．
（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；
（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最
大值M(a)．

Answer 1

（1）L(x)= (x－4－a)(10－x)²，x∈[8,9] （2）最大值为16－4a

解析试题分析：（1）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为
L(x)= (x－4－a)(10－x)²，x∈[8,9]．
（2） =(10－x)(18+2a－3x)，  
令，得x =6+a或x=10（舍去）．∵1≤a≤3，∴≤6+a≤8.
所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减，故=L(8)=(8－4－a)(10－8)²=16－4a．
即M(a) =16－4a.
答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L最大，
最大值为16－4a万元．
考点：根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．
点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及利用导数求闭区间上函数最值的能力．