Question

6．已知直线mx-y+1=0交抛物线y=x²于A、B两点，则△AOB为①
①为直角三角形    ②为锐角三角形    ③为钝角三角形．

Answer 1

分析 根据A和B都为抛物线上的点，设出A和B的坐标，把直线与抛物线解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之积，然后利用A和B的坐标表示出$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，利用平面向量的数量积运算法则，计算得出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$为0，从而得出两向量互相垂直，进而得到三角形为直角三角形．

解答 解：设A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
将直线与抛物线方程联立，消去y得：x²-mx-1=0，
根据韦达定理得：x₁x₂=-1，
由$\overrightarrow{OA}$=（x₁，x₁²），$\overrightarrow{OB}$=（x₂，x₂²），
得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+（x₁x₂）²=-1+1=0，
则$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴△AOB为直角三角形．
故答案为：①．

点评 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．