Question

【题目】已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若为R上的偶函数，且关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），偶函数；，奇函数；，非奇非偶函数，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；

（2）由题意可得在（﹣∞，0）上恒成立，求出右边函数的取值范围，可得k的不等式，解不等式即可得到所求范围．

（1）f（﹣x）＝2﹣x+m2x，

若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即2﹣x+m2x＝2x+m2﹣x，

所以（m﹣1）（2x﹣2﹣x）＝0对任意实数x成立，所以m＝1；

若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+m2x＝﹣2x﹣m2﹣x，

所以（m+1）（2x+2﹣x）＝0对任意实数x成立，所以m＝﹣1．

综上，当m＝1时，f（x）是偶函数；当m＝﹣1时，f（x）是奇函数；当m≠±1时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

（2）f（x）0，3k2+1＞0，

且2kf（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，

故原不等式等价于在（﹣∞，0）上恒成立，

又x∈（﹣∞，0），所以f（x）∈（2，+∞），

所以，

从而，即有3k2﹣4k+1≤0，

因此，．