题目内容
【题目】已知函数
.
(Ⅰ)当时,求
的图象在
处的切线方程;
(Ⅱ)若函数与
图象在
上有两个不同的交点,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)y=2x-1. (Ⅱ)[].
【解析】【试题分析】(I)当时,求出
和
的值,利用点斜式求得切线方程.(II)令
,化简得
,构造函数
,利用导数求得
在区间
上的极大值为
,通过计算
和
可知
在区间
上的最小值为
,由此可用最大值大于零,最小值不大于零列不等式组,求得
的取值范围.
【试题解析】
(Ⅰ)解 当时,f(x)=2lnx-x2+2x,f′(x)=
-2x+2,
切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f′(1)=2,
则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
(Ⅱ)解:由题意可得:2lnx-x2+m=0,令h(x)=2lnx-x2+m,
则h′(x)=-2x=
,
∵x∈,故h′(x)=0时,x=1.
当<x<1时,h′(x)>0;当1<x<e时,h′(x)<0.
故h(x)在x=1处取得极大值h(1)=m-1.
又=m-2-
,h(e)=m+2-e2,h(e)-
=4-e2+
<0,
则h(e)<,
∴h(x)在[]上的最小值为h(e).
h(x)在[]上有两个零点的条件是
,
解得1<m≤2+
∴实数m的取值范围是[].
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练习册系列答案
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时,
是
的二次函数;当
时,
.测得部分数据如表.
x(单位:克) | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 | 3 | … |
(1)求y关于x的函数关系式y=
(2)求函数的最大值