题目内容

已知函数,.
(Ⅰ)若函数的图象与轴无交点,求的取值范围;
(Ⅱ)若函数上存在零点,求的取值范围;
(Ⅲ)设函数.当时,若对任意的,总存在,使得,求的取值范围.

(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).

解析试题分析:(Ⅰ)函数的图像与轴无交点,那么函数对应的方程的判别式,解不等式即可;(Ⅱ)先判断函数在闭区间的单调性,然后根据零点存在性定理,可知,解方程组求得同时满足两个表达式的的取值范围;(Ⅲ)若对任意的,总存在,使,只需函数的值域为函数值域的子集即可.先求出函数在区间上的值域是,然后判断函数的值域.分三种情况进行分类讨论,当时,函数是一次函数,最值在两个区间端点处取得,所以假设其值域是,那么就有成立,解相应的不等式组即可.
试题解析:(Ⅰ)若函数的图象与轴无交点,则方程的判别式
,解得.                            3分
(Ⅱ)的对称轴是,所以上是减函数,上存在零点,则必有:
,即
解得:,故实数的取值范围为;                 8分
(Ⅲ)若对任意的,总存在,使,只需函数的值域为函数值域的子集.当时,的对称轴是,所以的值域为, 下面求的值域,
①当时,,不合题意,舍;
②当时,的值域为,只需要:
,解得
③当时,的值域为,只需要:
,解得
综上:实数的取值范围.                                14分
考点:1.方程根的个数与判别式的关系;2.零点存在性定理;3.二次函数在闭区间上的值域;4.一次函数的单调性;5.二次函数的图像与性质

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