题目内容

设函数,其中实数
(1)若,求函数的单调区间;
(2)当函数的图象只有一个公共点且存在最小值时,记的最小值为,求的值域;
(3)若在区间内均为增函数,求实数的取值范围.

(1)详见解析;(2);(3)

解析试题分析:(1)这是一个三次函数求单调区间的问题,此类问题比较熟悉,三次函数的导数为二次函数,它的零点容易求出,但要注意对零点大小的比较,才能准确写出单调区间;(2)函数的图象只有一个公共点,知方程只有一个根(含重根),结合有最小值,可求出的取值范围,而是一个二次函数,易得它提最小值,最后可求出的值域;(3)由(1)的过程和结果易知的单调增区间,应是其子区间,再由的单调增区间,也应是其子区间,从而确定的取值范围,要注意分类讨论思想的应用.
试题解析:(1)∵,又
∴当时,;当时,
的递增区间为,递减区间为
(2)由题意知
恰有一根(含重根)∴,即
,且存在最小值,所以
,∴,∴的值域为
(3)当时,内是增函数,内是增函数,由题意得,解得
时,内是增函数,内是增函数,由题意得,解得
综上可知,实数的取值范围为
考点:函数的综合应用.

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