Question

四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为矩形，AB=1，AD=2，AA₁=3，∠A₁AB=∠A₁AD=60°，则AC₁的长为（　　）

A．4 2

B．23

C． 23

D．32

Answer 1

记A₁在面ABCD内的射影为O，
∵∠A₁AB=∠A₁AD，
∴O在∠BAD的平分线上，
由O向AB，AD两边作垂线，垂足分别为E，F，连接A₁E，A₁F，A₁E，A₁F分别垂直AB，AD于E，F
∵AA₁=3，∠A₁AB=∠A₁AD=60°，
∴AE=AF=

3

2

又四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为矩形
∴∠OAF=∠OAE=45°，且OE=OF=

3

2

，可得OA=

3

2

2

在直角三角形A₁OA中，由勾股定理得A₁O=

3

2

2

过C₁作C₁M垂直底面于M，则有△C₁MC≌△A₁OA，由此可得M到直线AD的距离是

5

2

，M到直线AB的距离是

7

2

，C₁M=A₁O=

3

2

2

所以AC₁ =

( 5 2 )2+( 7 2 )2+( 3 2 2 )2

=

23

故选C．