题目内容

如图所示,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边为半圆的直径,为半圆的圆心,,现要将此铁皮剪出一个三角形,使得.
(1)设,求三角形铁皮的面积;
(2)求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.

(1)三角形铁皮的面积为;(2)的面积的最大值为.

解析试题分析:(1)先根据题中条件得出,最后根据三角形的面积计算公式即可得到所求的三角形的面积;(2)先引入角度作为变量,即设,进而根据(1)中思路求出,到此用同角三角函数的基本关系式,进行换元,令,先确定的取值范围,进而得到,从而,根据求出的的取值范围,结合二次函数的图像与性质即可确定的最大值.
(1)由题意知


,即三角形铁皮的面积为
(2)设
,由于,则有所以
,所以

而函数在区间上单调递增
故当时,取得最大值.
考点:1.三角函数的实际应用;2.同角三角函数的基本关系式;3.三角函数的图像与性质;4.二次函数的图像与性质.

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