题目内容
【题目】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面底面ABCD,且
,若E,F分别为PC,BD的中点.
(I)求证:EF//平面PAD;
(II)求三棱锥F-DEC的体积;
(III)在线段CD上是否存在一点G,使得平面平面PDC?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
【答案】(I)证明见解析;(II);(Ⅲ)
的中点
为满足条件的点
【解析】
(I)连接交
于
,利用三角形的中位线定理即可得到
,再利用线面平行的判定定理即可证明;
(II)取的中点
,连接
.由等腰三角形的性质可得
,再利用面面垂直的性质可得
底面
,计算出三棱锥
的高,利用三棱锥的体积计算公式即可得出;
(III)易得的中点
满足条件,再证明
平面
即可证明平面
平面PDC.
(Ⅰ)证明:连接,则
是
的中点,在
中,
,
∵平面
,
平面
,
∴平面
;
(Ⅱ)如图,取的中点
,连接
.
∵,∴
.
∵侧面底面
,侧面
底面
,
平面
,
∴底面
.
∵为
的中点,∴三棱锥
的高为
,
∵,且
,∴
,∴
,
∴三棱锥的体积是
.
(Ⅲ) 的中点
为满足条件的点
证明:取的中点
,连接
,
则因为E,F分别为PC,BD的中点,为
的中点,故
为
的中位线,
故,
平面
,
平面
,故
平面
.
同理平面
.因为
,故平面
平面
.
又正方形,故
,
又侧面底面
,侧面
底面
,
平面
,
故平面
,故
平面
.
又平面
,故平面
平面PDC
故的中点
为满足条件的点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目