Question

（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数 N，其导函数记为，且满足，其中、、为常数，.设函数R且.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若函数无极值点，其导函数有零点，求m的值；

（Ⅲ）求函数在的图象上任一点处的切线斜率k的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为，

所以，整理得：

又，所以.………………………………………………………………3分

（Ⅱ）因为，

所以.………………………………………………………4分

由条件.……………………………………5分

因为有零点而无极值点,表明该零点左右同号，又，所以二次方程有相同实根，即

解得.………………………………………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，因为，所以[12，+∞]，所以①当或时，恒成立，所以在（0，]上递增，

故当时，k取得最大值，且最大值为，……………………………………10分

②当时，由   得，而.

若，则，k单调递增；

若，则，k单调递减.

故当时，k取得最大值，

且最大值等于.…………………………13分

综上，………………………………………14分

【解析】略