题目内容

【题目】已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2),当x∈[0,2)时,f(x)=﹣2x2+4x.设f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为an(n∈N*),且{an}的前n项和为Sn , 则Sn=(
A.
B.
C.
D.

【答案】B
【解析】解:∵定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2), ∴f(x+2)= f(x),
∴f(x+4)= f(x+2)= f(x),f(x+6)= f(x+4)= f(x),…f(x+2n)= f(x)
设x∈[2n﹣2,2n),则x﹣(2n﹣2)∈[0,2)
∵当x∈[0,2)时,f(x)=﹣2x2+4x.
∴f[x﹣(2n﹣2)]=﹣2[(x﹣(2n﹣2)]2+4[x﹣(2n﹣2)].
=﹣2(x﹣2n+1)2+2
∴f(x)=21n[﹣2(x﹣2n+1)2+2],x∈[2n﹣2,2n),
∴x=2n﹣1时,f(x)的最大值为22n
∴an=22n
∴{an}表示以2为首项, 为公比的等比数列
∴{an}的前n项和为Sn= =
故选B.

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