Question

19．在△ABC 中，D为BC边上任意一点，O为AD的中点，若$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，其中 λ，μ∈R，则λ+μ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{BD}$=x$\overrightarrow{BC}$，将向量$\overrightarrow{AO}$用向量$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案

解答 解：设$\overrightarrow{BD}$=x$\overrightarrow{BC}$，
则$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{BC}）$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{x}{2}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{x}{2}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$（\frac{1}{2}-\frac{x}{2}）\overrightarrow{AB}+\frac{x}{2}\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，
∴λ+μ=$\frac{1}{2}-\frac{x}{2}+\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题