题目内容
【题目】已知椭圆
：
的左、右顶点分别是双曲线
：
的左、右焦点，且与相交于点(
)．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线
：
与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由．
【答案】（1）
（2）以线段AB为直径的圆恒过定点
.
【解析】
（1）根据点
在双曲线
上，求出
，由椭圆
的左右顶点是双曲线的左右焦点可求出
，最后由点也在椭圆上求得
.
（2）先把直线方程与椭圆方程联立，消去
，得到关于
的一元二次方程，利用根据系数的关系得到
，
两点的横坐标关系.根据圆上任意一点到直径端点的构成的两个向量垂直，即数量积为0，则可求出以线段AB为直径的圆恒过定点.
解：（1）将
代入
解得
，
.
将代入
解得
，
椭圆的标准方程为：；
（2）设
，
由
整理得
，
法一：由对称性可知，以AB为直径的圆若恒过定点，是定点必在y轴上.
设定点为
，则
，解得
，
以线段AB为直径的圆恒过定点
法二：设定点为
，则
…
解得
，
以线段AB为直径的圆恒过定点.
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