题目内容

19.如图,△ABC是圆内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点F,过点B圆的切线与CD的延长线交于点E.
(1)求证;∠EBD=∠CBD.
(2)若DE=2,DC=3,求边BC的长.

分析 (1)利用角与弧的关系,得到角相等;
(2)利用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可得出结论.

解答 (1)证明:∵BE是切线,由弦切角定理,∴∠EBD=∠DAB  …(1分)
∵∠DAC,∠CBD是同弧上的圆周角,∴∠CBD=∠DAC   …(2分)
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAC  …(3分)
∴∠EBD=∠CBD  …(4分)
(2)解:∵BE是切线,由切割线定理,EB2=ED•EC=10,
∴EB=$\sqrt{10}$…(6分)
由弦切角定理,∠EBD=∠DCB    …(7分)
∴由(1)知,∠EBD=∠CBD=∠DCB,∴DC=DB=3 …(8分)
∵∠BED=∠CED,
∴△BED∽△CEB …(10分)
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{EC}{BE}$,∴$\frac{BC}{3}=\frac{5}{\sqrt{10}}$,
∴BC=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$  …(12分)

点评 本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系,还考查了三角形相似的知识,本题总体难度不大,属于中档题.

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