Question

11．已知△ABC中，A，B，C成等差数列，且最大角C与最小角A满足sinA•sinC=$\frac{1}{2}$，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求C和边c．

Answer 1

分析 由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质求出B的度数，再由最大角与最小角满足的关系式求出A与C的度数，得到三角形为直角三角形，根据两直角边乘积的一半表示出三角形面积，求出c的值即可．

解答 解：∵△ABC中，A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=180°，
∴B=60°，
∵最大角C与最小角A满足sinA•sinC=$\frac{1}{2}$，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，sinC=1，即A=30°，C=90°，
∴△ABC为直角三角形，a=$\frac{1}{2}$c，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∵S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$ab=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即ab=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=$\sqrt{3}$，
解得：c=2．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，等差数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．