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题目内容

16.在平面直角坐标系中,已知三点A(m,n),B(n,t),C(t,m),直线AC的斜率与倾斜角为钝角的直线AB的斜率之和为53,而直线AB恰好经过抛物线x2=2p(y-q)的焦点F(0,p2+q),并且与抛物线交于P、Q两点(P在Y轴左侧).则|PF||QF|=(  )
A.9B.4C.1732D.212

分析 如图所示,设kAB=tnnm,kAC=mntm,kAB+kAC=53,变形为(n-m)•kAB=t-n=(t-m)+(m-n),可得kAB=tmnm1=-1kAC-1,解得kAB=-43
可得:直线AB的方程为:y=43x+p2+q,设P(x1,y1),Q(x2,y2).(x1<0<x2).与抛物线方程联立可得x2+83pxp2=0.利用根与系数的关系可得:x1+x22x1x2=x1x2+x2x1+2=-649,解得x1x2,利用|PF||QF|=x1x2即可得出.

解答 解:如图所示,
解:设kAB=tnnm,kAC=mntm
tmnm+mntn=53
∵(n-m)•kAB=t-n=(t-m)+(m-n),
∴kAB=tmnm1=-1kAC-1,∴kAC=1kAB+1
∴kAB-1kAB+1=53
解得kAB=-43或2(舍去).
∴直线AB的方程为:y=43x+p2+q,设P(x1,y1),Q(x2,y2).(x1<0<x2).
联立{y=43x+p2+qx2=2pyq,化为x2+83pxp2=0
∴x1+x2=-83p,x1x2=-p2
x1+x22x1x2=x1x2+x2x1+2=-649
x1x2=t>1,
t1t+2=649
化为9t2-82t+9=0,t>1.
解得t=9.
|PF||QF|=x1x2=9.
故选:A.

点评 本题考查了抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式,考查了较强的变形能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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