题目内容
16.在平面直角坐标系中,已知三点A(m,n),B(n,t),C(t,m),直线AC的斜率与倾斜角为钝角的直线AB的斜率之和为53,而直线AB恰好经过抛物线x2=2p(y-q)的焦点F(0,p2+q),并且与抛物线交于P、Q两点(P在Y轴左侧).则|PF||QF|=( )A. | 9 | B. | 4 | C. | √1732 | D. | 212 |
分析 如图所示,设kAB=t−nn−m,kAC=m−nt−m,kAB+kAC=53,变形为(n-m)•kAB=t-n=(t-m)+(m-n),可得kAB=t−mn−m−1=-1kAC-1,解得kAB=-43.
可得:直线AB的方程为:y=−43x+(p2+q),设P(x1,y1),Q(x2,y2).(x1<0<x2).与抛物线方程联立可得x2+83px−p2=0.利用根与系数的关系可得:(x1+x2)2x1x2=x1x2+x2x1+2=-649,解得−x1x2,利用|PF||QF|=−x1x2即可得出.
解答 解:如图所示,
解:设kAB=t−nn−m,kAC=m−nt−m,
则t−mn−m+m−nt−n=53,
∵(n-m)•kAB=t-n=(t-m)+(m-n),
∴kAB=t−mn−m−1=-1kAC-1,∴kAC=−1kAB+1.
∴kAB-1kAB+1=53,
解得kAB=-43或2(舍去).
∴直线AB的方程为:y=−43x+(p2+q),设P(x1,y1),Q(x2,y2).(x1<0<x2).
联立{y=−43x+(p2+q)x2=2p(y−q),化为x2+83px−p2=0.
∴x1+x2=-83p,x1x2=-p2,
∴(x1+x2)2x1x2=x1x2+x2x1+2=-649,
令−x1x2=t>1,
则−t−1t+2=−649,
化为9t2-82t+9=0,t>1.
解得t=9.
∴|PF||QF|=−x1x2=9.
故选:A.
点评 本题考查了抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式,考查了较强的变形能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
A. | 2|PQ|=|BC|+|OQ| | B. | |PQ|2=|BC|•|OQ| | C. | 2|OQ|=|PQ|+|BC| | D. | |OQ|2=|PQ|•|BC| |
A. | y2=43x或x2=-94y | B. | y2=83x或x2=-94x | C. | y2=43x或x2=-92y | D. | y2=83x或x2=-92y |
A. | p2 | B. | √3p2 | C. | 2p2 | D. | 2√3p2 |