Question

16．在平面直角坐标系中，已知三点A（m，n），B（n，t），C（t，m），直线AC的斜率与倾斜角为钝角的直线AB的斜率之和为$\frac{5}{3}$，而直线AB恰好经过抛物线x²=2p（y-q）的焦点F（0，$\frac{p}{2}$+q），并且与抛物线交于P、Q两点（P在Y轴左侧）．则$\frac{{|{PF}|}}{{|{QF}|}}$=（　　）

• A． 9
• B． 4
• C． $\frac{{\sqrt{173}}}{2}$
• D． $\frac{21}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，设k_AB=$\frac{t-n}{n-m}$，k_AC=$\frac{m-n}{t-m}$，k_AB+k_AC=$\frac{5}{3}$，变形为（n-m）•k_AB=t-n=（t-m）+（m-n），可得k_AB=$\frac{t-m}{n-m}-1$=-$\frac{1}{{k}_{AC}}$-1，解得k_AB=-$\frac{4}{3}$．
可得：直线AB的方程为：$y=-\frac{4}{3}x+（\frac{p}{2}+q）$，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．（x₁＜0＜x₂）．与抛物线方程联立可得${x}^{2}+\frac{8}{3}px-{p}^{2}=0$．利用根与系数的关系可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+2=-$\frac{64}{9}$，解得$\frac{-{x}_{1}}{{x}_{2}}$，利用$\frac{{|{PF}|}}{{|{QF}|}}$=$\frac{-{x}_{1}}{{x}_{2}}$即可得出．

解答 解：如图所示，
解：设k_AB=$\frac{t-n}{n-m}$，k_AC=$\frac{m-n}{t-m}$，
则$\frac{t-m}{n-m}+\frac{m-n}{t-n}=\frac{5}{3}$，
∵（n-m）•k_AB=t-n=（t-m）+（m-n），
∴k_AB=$\frac{t-m}{n-m}-1$=-$\frac{1}{{k}_{AC}}$-1，∴k_AC=$-\frac{1}{{k}_{AB}+1}$．
∴k_AB-$\frac{1}{{k}_{AB}+1}$=$\frac{5}{3}$，
解得k_AB=-$\frac{4}{3}$或2（舍去）．
∴直线AB的方程为：$y=-\frac{4}{3}x+（\frac{p}{2}+q）$，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．（x₁＜0＜x₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+（\frac{p}{2}+q）}\\{{x}^{2}=2p（y-q）}\end{array}\right.$，化为${x}^{2}+\frac{8}{3}px-{p}^{2}=0$．
∴x₁+x₂=-$\frac{8}{3}p$，x₁x₂=-p²，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+2=-$\frac{64}{9}$，
令$\frac{-{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t＞1，
则$-t-\frac{1}{t}+2=-\frac{64}{9}$，
化为9t²-82t+9=0，t＞1．
解得t=9．
∴$\frac{{|{PF}|}}{{|{QF}|}}$=$\frac{-{x}_{1}}{{x}_{2}}$=9．
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了较强的变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．