Question

【题目】已知函数（,是自然对数的底数）.

（1）若是上的单调递增函数，求实数的取值范围；

（2）当时，证明：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析: （Ⅰ）先将单调性转化为不等式恒成立：当时，函数恒成立，再变量分离转化为对应函数最值：的最小值，最后根据导数求函数最值，（Ⅱ）利用二次求导，确定导函数为单调递增函数，再利用零点存在定理确定导函数有且仅有一个零点，根据导函数符号变化规律得函数在此零点（极小值点）取最小值.最后利用导函数零点表示函数最小值，并根据导函数零点取值范围，利用导数方法确定最小值函数的值域.

试题解析: （Ⅰ），

依题意：当时，函数恒成立，即恒成立，

记，则，

所以在上单调递增，所以，所以，即；

（Ⅱ）因为，所以是上的增函数，

又， ，所以存在使得

且当时，当时，所以的取值范围是．

又当，，当时，，

所以当时，．且有

∴．

记，则，

所以，即最小值的取值范围是．