题目内容
3．已知函数f（x）=log2（1-x）-log2（x+a）为奇函数．（1）求a的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性．
分析 （1）利用f（0）=0，建立方程，即可求a的值；
（2）考虑内、外函数的单调性，即可得出结论．
解答 解：（1）∵f（x）=log2（1-x）-log2（x+a）为奇函数，
∴f（0）=log2（1-0）-log2（0+a）=0，
∴a=1；
（2）f（x）=log2（1-x）-log2（1+x）=log2$\frac{1-x}{1+x}$．
令t=$\frac{1-x}{1+x}$（-1＜x＜1），则t′=$\frac{-2}{（1+x）^{2}}$＜0，
∴t=$\frac{1-x}{1+x}$在（-1，1）上单调递减，
∵y=log2t在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）=log2$\frac{1-x}{1+x}$在（-1，1）上单调递减．
点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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| A． | $\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$ | D． | $-\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$ |