题目内容

20.设△ABC是锐角三角形,三个内角A,B,C所对的边分别记为a,b,c,并且(sinA-sinB)(sinA+sinB)=sin($\frac{π}{3}$-B)sin($\frac{π}{3}$+B).
(Ⅰ)求角A的值;
(Ⅱ)若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=12,a=2$\sqrt{7}$,求b,c(其中b<c).

分析 (Ⅰ)利用已知条件化简表达式,求出A的正弦函数值,然后求角A的值;
(Ⅱ)利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=12,求出bc的值,利用余弦定理得到关系式,然后求b,c(其中b<c).

解答 解:(Ⅰ)(sinA-sinB)(sinA+sinB)=sin($\frac{π}{3}$-B)sin($\frac{π}{3}$+B).
可得:${sin^2}A=(\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB)•(\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB-\frac{1}{2}sinB)+{sin^2}B$
=$\frac{3}{4}({cos^2}B+{sin^2}B)=\frac{3}{4}$,
∴$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,∴$A=\frac{π}{3}$.   …(6分)
(Ⅱ) $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=bccosA=12$,∴bc=24,
又a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,
∴b+c=10,
∵b<c,∴b=4,c=6.…(12分)

点评 本题考查余弦定理的应用,实数的化简求值,基本知识的考查.

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