Question

9．已知ω＞0，函数$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{4}）$在$（\frac{π}{2}，π）$单调递减，则ω的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据函数的单调性确定函数的周期的范围，结合函数单调性对应的区间建立不等式关系即可得到结论．

解答 解：∵x∈$（\frac{π}{2}，π）$，ω＞0，
∴ωx∈（$\frac{πω}{2}$，πω），
则ωx+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{πω}{2}$+$\frac{π}{4}$，πω+$\frac{π}{4}$），
∵函数$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{4}）$在$（\frac{π}{2}，π）$单调递减，
∴周期T=$\frac{2π}{ω}$≥π，解得ω≤2
∵$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{4}）$的减区间满足：2kπ+$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
取k=0，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ωπ+\frac{π}{4}≥\frac{π}{2}}\\{ωπ+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}≤ω≤$$\frac{5}{4}$，
故ω的最大值是$\frac{5}{4}$，
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定函数的周期的取值范围以及函数单调递减区间，是解决本题的关键．