题目内容

已知函数
(1)当,且时,求证: 
(2)是否存在实数,使得函数的定义域、值域都是?若存在,则求出的值,若不存在,请说明理由.

(1)证明见解析;(2)不存在,理由见解析.

解析试题分析:(1)分时和时,根据绝对值的性质,可根据绝对值的定义,可将函数的解析式化为分段函数的形式,进而分析函数的单调性,结合函数的单调性证得结论
(2)根据(1)中结论,分①当时,②当时,③当时,三种情况讨论的存在性,最后综合讨论结果,可得答案.
试题解析:(1)
所以在(0,1)内递减,在(1,+)内递增.
,且.

(2)不存在满足条件的实数.

①当时,在(0,1)内递减,
,所以不存在.
②当时,在(1,+)内递增,
是方程的根.
而方程无实根.所以不存在.
③当时,在(a,1)内递减,在(1,b)内递增,所以
由题意知,所以不存在.
考点:1.带绝对值的函数;2.分段函数.

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