Question

在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列，则a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列．
（1）写出这个命题的逆命题；
（2）判断逆命题是否为真？并给出证明．

Answer 1

分析：（1）根据逆命题的要求直接写出逆命题即可．
（2）根据逆命题的条件推出公比q的值，然后验证结论是否成立．

解答：解：（1）在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1成等差数列，则S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．
（2）数列{a_n}的首项为a₁，公比为q．由题意知：2a_m+2=a_m+a_m+1
即2•a₁•q^m+1=a₁•q^m-1+a₁•q^m∵a₁≠0，q≠0，∴2q²-q-1=0，∴q=1或q=-

1

2

当q=1时，有S_m=ma₁，S_m+2=（m+2）a₁，S_m+1=（m+1）a₁，
显然：2S_m+2≠S_m+S_m+1．此时逆命题为假．
当q=-

1

2

时，有2Sm+2=

2a1(1-(- 1 2 )m+2)

1+ 1 2

=

4

3

a1[1-(-

1

2

)m+2]，Sm+Sm+1=

a1(1-(- 1 2 )m)

1+ 1 2

+

2a1(1-(- 1 2 )m+)

1+ 1 2

=

4

3

a1[1-(-

1

2

)m+2]
∴2S_m+2=S_m+S_m+1，此时逆命题为真．

点评：本题是中档题，考查数列的基本知识，命题与逆命题的关系，考查计算能力，常考题型．