题目内容
【题目】如图,在圆柱中,A,B,C,D是底面圆的四等分点,O是圆心,A1A,B1B,C1C与底面ABCD垂直,底面圆的直径等于圆柱的高.
(Ⅰ)证明:BC⊥AB1;
(Ⅱ)(ⅰ)求二面角A1 - BB1 - D的大小;
(ⅱ)求异面直线AB1和BD所成角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)(ⅰ) ;(ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由已知条件先证明BC⊥平面A1B1BA,又BA1平面A1B1BA,所以BC⊥AB1.
(Ⅱ)(ⅰ)由圆柱性质知CB、CD、CC1两两垂直.以C为原点,以、
、
为x轴、y轴、z轴正方向建系求解即可;
(ⅱ)通过求向量,
的夹角,可得异面直线AB1和BD所成角的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)证明:因为B1B⊥平面ABCD,且BC平面ABCD,所以BC⊥B1B,又因为在底面圆O中,AB⊥BC,AB∩B1B = B,所以BC⊥平面A1B1BA,又因为BA1
平面A1B1BA,所以BC⊥AB1.
(Ⅱ)(ⅰ)由圆柱性质知CB、CD、CC1两两垂直.以C为原点,以、
、
为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系
,不妨设圆柱的高为2.
则,
,
.所以平面A1B1B的一个法向量是
.
平面BB1D的一个法向量是.
所以.
由图知二面角A1 - BB1 - D是锐二面角,所以它的大小是.
(ⅱ)由题意得,
,
.
所以,
.
所以.
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【题目】某单位共有10名员工,他们某年的收入如下表:
员工编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年薪(万元) | 4 | 4.5 | 6 | 5 | 6.5 | 7.5 | 8 | 8.5 | 9 | 51 |
(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数;
(2)从该单位中任取2人,此2人中年薪收入高于7万的人数记为,求
的分布列和期望;
(3)已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系,某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元,5.5万元,6万元,8.5万元,预测该员工第五年的年薪为多少?
附:线性回归方程中系数计算公式分别为:
,
,其中
为样本均值.