Question

【题目】如图，在圆柱中，A，B，C，D是底面圆的四等分点，O是圆心，A1A，B1B，C1C与底面ABCD垂直，底面圆的直径等于圆柱的高．

（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；

（Ⅱ）（ⅰ）求二面角A1 - BB1 - D的大小；

（ⅱ）求异面直线AB1和BD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（ⅰ） ；（ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件先证明BC⊥平面A1B1BA，又BA1平面A1B1BA，所以BC⊥AB1．

（Ⅱ）（ⅰ）由圆柱性质知CB、CD、CC1两两垂直．以C为原点，以、、为x轴、y轴、z轴正方向建系求解即可;

（ⅱ）通过求向量， 的夹角，可得异面直线AB1和BD所成角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为B1B⊥平面ABCD，且BC平面ABCD，所以BC⊥B1B，又因为在底面圆O中，AB⊥BC，AB∩B1B = B，所以BC⊥平面A1B1BA，又因为BA1平面A1B1BA，所以BC⊥AB1．

（Ⅱ）（ⅰ）由圆柱性质知CB、CD、CC1两两垂直．以C为原点，以、、为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设圆柱的高为2．

则， ， ．所以平面A1B1B的一个法向量是．

平面BB1D的一个法向量是．

所以．

由图知二面角A1 - BB1 - D是锐二面角，所以它的大小是．

（ⅱ）由题意得， ， ．

所以， ．

所以．