Question

【题目】如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）在线段是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在，值为

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（2）首先利用求得点的坐标，由求得的值.

（1）因为为正方形，所以.

因为平面ABC⊥平面，且垂直于这两个平面的交线，所以平面.由题知，，，所以.如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则，即，

令，则，，所以.

同理可得，平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

（2）存在.设是直线上一点，且.所以.解得，，.

所以.

由，即.解得.

因为，所以在线段上存在点，

使得.此时，.