题目内容

【题目】已知函数(其中),若对任意的恒成立,则实数的取值范围是________________.

【答案】

【解析】

判断函数f(x)是R上的奇函数,且是增函数;把f(x2+2)+f(﹣2ax)≥0恒成立化为x2+2≥2ax恒成立,设g(x)=x2﹣2ax+2,利用二次函数的图象与性质,即可求出实数a的取值范围.

函数(其中e≈2.718),x∈R;

f(﹣x)=ex﹣ex+ln(﹣x+)=﹣(ex﹣ex)﹣ln(x+)=﹣f(x),

∴f(x)是R上的奇函数,

f′(x)=ex+ex+>0恒成立,

∴f(x)是定义域R上的单调增函数;

若对任意的x∈[﹣1,2],f(x2+2)+f(﹣2ax)≥0恒成立,

∴f(x2+2)≥﹣f(﹣2ax)恒成立,

∴f(x2+2)≥f(2ax)恒成立,

∴x2+2≥2ax恒成立,

x2﹣2ax+2≥0x∈[﹣1,2]上恒成立

g(x)=x2﹣2ax+2,其对称轴为x=a,且开口向上;

应满足

解得﹣≤a<-1或﹣1≤a≤

∴实数a的取值范围是﹣≤a≤

故答案为:﹣≤a≤

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