题目内容
【题目】已知函数(其中),若对任意的,恒成立,则实数的取值范围是________________.
【答案】
【解析】
判断函数f(x)是R上的奇函数,且是增函数;把f(x2+2)+f(﹣2ax)≥0恒成立化为x2+2≥2ax恒成立,设g(x)=x2﹣2ax+2,利用二次函数的图象与性质,即可求出实数a的取值范围.
函数(其中e≈2.718),x∈R;
且f(﹣x)=e﹣x﹣ex+ln(﹣x+)=﹣(ex﹣e﹣x)﹣ln(x+)=﹣f(x),
∴f(x)是R上的奇函数,
又f′(x)=ex+e﹣x+>0恒成立,
∴f(x)是定义域R上的单调增函数;
若对任意的x∈[﹣1,2],f(x2+2)+f(﹣2ax)≥0恒成立,
∴f(x2+2)≥﹣f(﹣2ax)恒成立,
∴f(x2+2)≥f(2ax)恒成立,
∴x2+2≥2ax恒成立,
即x2﹣2ax+2≥0在x∈[﹣1,2]上恒成立;
设g(x)=x2﹣2ax+2,其对称轴为x=a,且开口向上;
应满足或或;
解得﹣≤a<-1或或﹣1≤a≤;
∴实数a的取值范围是﹣≤a≤.
故答案为:﹣≤a≤.
【题目】雾霾影响人们的身体健康,越来越多的人开始关心如何少产生雾霾,春节前夕,某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度,随机采访了50人,将凋查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75] |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 6 | 12 | 7 | 3 | 3 |
(1)以赞同人数的频率为概率,若再随机采访3人,求至少有1人持赞同态度的概率;
(2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.