题目内容

..(本小题满分14分)定义在上的函数,如果满足;对任意,存在常数,都有成立,则称上的有界函数,其中称为函数的上界.已知函数.

(Ⅰ)当时,求函数上的值域,并判断函数上是否为有界函数,请说明理由;

(Ⅱ)若上的有界函数,且的上界为3,求实数的取值范围;

(Ⅲ)若,求函数上的上界的取值范围.

 

 

【答案】

 

:(Ⅰ)当时,.

上递增,所以

上的值域为.     …………………………… 2分

故不存在常数,使成立.

所以函数上不是有界函数.………………………… 4分

(Ⅱ)∵函数上是以3为上界的有界函数,

上恒成立. ,

上恒成立.

…………………………………… 6分

.

,得.设,则

所以 上递增,上递减.

上的最大值为上的最小值为.

所以实数的取值范围为. ……………………………………… 9分

(Ⅲ)解法一:.

,.

. …………………………………………… 11分

①当时, ,此时

②当时,,此时.

综上所述,当时,的取值范围是

时,的取值范围是………… 14分

解法二.令,因为,所以.

.

因为上是减函数,所以.………… 11分

又因为函数上的上界是,所以.

①当时,

②当时,.…………… 14分

 

【解析】略

 

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