题目内容
..(本小题满分14分)定义在上的函数
,如果满足;对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的上界.已知函数
.
(Ⅰ)当时,求函数
在
上的值域,并判断函数
在
上是否为有界函数,请说明理由;
(Ⅱ)若是
上的有界函数,且
的上界为3,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若,求函数
在
上的上界
的取值范围.
【答案】
解:(Ⅰ)当时,
.
∵在
上递增,所以
,
即在
上的值域为
.
…………………………… 2分
故不存在常数,使
成立.
所以函数在
上不是有界函数.………………………… 4分
(Ⅱ)∵函数在
上是以3为上界的有界函数,
在
上恒成立.
,
在
上恒成立.
…………………………………… 6分
设,
,
.
由,得
.设
,则
,
,
所以在
上递增,
在
上递减.
在
上的最大值为
,
在
上的最小值为
.
所以实数的取值范围为
. ……………………………………… 9分
(Ⅲ)解法一:,
.
∵,
,
.
∴,
∵
∴. …………………………………………… 11分
①当即
时,
,此时
;
②当即
时,
,此时
.
综上所述,当时,
的取值范围是
;
当时,
的取值范围是
………… 14分
解法二:.令
,因为
,所以
.
.
因为在
上是减函数,所以
.………… 11分
又因为函数在
上的上界是
,所以
.
①当即
时,
;
②当即
时,
.…………… 14分
【解析】略

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