Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+1，数列{b_n}满足：b_n=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，前n项和为T_n．设C_n=T_2n+1-T_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式．
（2）求证：数列{C_n}是单调递减数列；
（3）若对n≥k时．总有C_n＜$\frac{16}{21}$成立．求自然数k的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用数列中Sn与a_n关系，先求出a_n，再由${b}_{n}=\frac{2}{{a}_{n}+1}$化简求出b_n；
（2）由题意和（1）求出c_n，利用作差法证明结论成立；
（3）由（2）令n=1、2、3分别求出对应的c_n，即可求出满足条件的自然数k的最小值．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=s₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+1-[（n-1）²+1]=2n-1，
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{2n-1，n≥2}\end{array}\right.$，
因为${b}_{n}=\frac{2}{{a}_{n}+1}$，所以${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}，n=1}\\{\frac{1}{n}，n≥2}\end{array}\right.$；
证明（2）由（1）得，C_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}$，
所以c_n+1-c_n=$\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{-1}{（2n+3）（2n+2）}$＜0，
则c_n+1＜c_n成立，
所以数列{C_n}是单调递减数列；
解：（3）由（2）知：C_n＜C_n-1＜…＜C₃＜C₂＜C₁，
当n=1时，C₁=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}＞$$\frac{16}{21}$，
当n=2时，C₂=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$=$\frac{47}{60}＞\frac{16}{21}$，
当n=3时，C₃=$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$$\frac{319}{420}＜\frac{320}{420}$=$\frac{16}{21}$，
当n≥3时，C_n≤C₃＜$\frac{16}{21}$，
所以自然数k的最小值是3．

点评 本题考查数列与函数、不等式的综合问题，数列中Sn与a_n关系的应用，考查化简、计算能力，属于中档题．