题目内容
已知函数,
(1)当且时,证明:对,;
(2)若,且存在单调递减区间,求的取值范围;
(3)数列,若存在常数,,都有,则称数列有上界。已知,试判断数列是否有上界.
(1),,解得,当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以在处取最大值,即,,即
(2)(3)数列无上界
解析试题分析:⑴当且时,设,,……1分,解得。
当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以在处取最大值,即,,即
(2)若,=
所以
因为函数存在单调递减区间,所以在上有解
所以在上有解
所以在上有解,即使得
令,则,研究,当时,
所以
(3)数列无上界
,设,,由⑴得,,所以,,取为任意一个不小于的自然数,则,数列无上界。
考点:函数单调性最值与不等式与函数的转化
点评:不等式恒成立问题常转化为求函数最值问题,第二问将函数存在减区间首先转化为导数小于零有解,进而转化为求函数最值,通过本题要加强不等式与函数的互相转化的思维思路的培养与训练
练习册系列答案
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探究函数f(x)=x+,x∈(0,+∞)的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下:
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
函数f(x)=x+(x>0)在区间(0,2)上递减;
(1)函数f(x)=x+(x>0)在区间 上递增.
当x= 时,y最小= .
(2)证明:函数f(x)=x+在区间(0,2)上递减.
(3)思考:函数f(x)=x+(x<0)有最值吗?如果有,那么它是最大值还是最小值?此时x为何值?(直接回答结果,不需证明)