Question

19．已知函数f（x）=log₂（4^x+b•2^x+4），g（x）=x．
（1）当b=-5时，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）=log₂（4^x-5•2^x+4），从而可得4^x-5•2^x+4＞0，从而求定义域；
（2）由f（x）＞g（x）得4^x+b•2^x+4＞2^x，从而可得b＞1-（2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$），令h（x）=1-（2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$），从而化为最值问题．

解答 解：（1）当b=-5时，f（x）=log₂（4^x-5•2^x+4），
则4^x-5•2^x+4＞0，
故x＜0或x＞2；
∴f（x）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）；
（2）∵f（x）=log₂（4^x+b•2^x+4），g（x）=x，
∴由f（x）＞g（x）得4^x+b•2^x+4＞2^x，
即b＞1-（2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$），
令h（x）=1-（2^x+$\frac{4}{{2}^{x}}$），
则h（x）≤-3，
∴当b＞-3时，f（x）＞g（x）恒成立，
故b的取值范围是（-3，+∞）．

点评 本题考查了函数的定义域的求法及恒成立问题．