题目内容

【题目】如图,椭圆的左、右焦点分别为,点A为椭圆C上异于左右顶点的任意一点,A关于原点O的对称点为B,且

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)若A关于x轴的对称点,设点,连接NA,直线NA与椭圆C相交于点E,直线x轴相交于点M,求点M的坐标.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)

【解析】

1)根据椭圆的对称性可得,再由,可解得,即得;(2)设出直线方程和两点坐标,由对称性可得的坐标,即得直线的方程,令,将直线NA的方程和椭圆方程联立,再利用韦达定理,对其进行化简,即得M的坐标.

(Ⅰ)由椭圆的对称性可知,∴.故,得,又.∴椭圆C的标准方程为

(Ⅱ)显然,直线NA的斜率存在,且不为0,设直线NA的方程为

代入椭圆C的方程,得

由题知,,得

,则

∴直线的方程为,令,可得

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