题目内容
【题目】如图,椭圆的左、右焦点分别为、,,点A为椭圆C上异于左右顶点的任意一点,A关于原点O的对称点为B,,且.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若是A关于x轴的对称点,设点,连接NA,直线NA与椭圆C相交于点E,直线与x轴相交于点M,求点M的坐标.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
(1)根据椭圆的对称性可得,再由,可解得,即得;(2)设出直线方程和,两点坐标,由对称性可得的坐标,即得直线的方程,令,将直线NA的方程和椭圆方程联立,再利用韦达定理,对其进行化简,即得M的坐标.
(Ⅰ)由椭圆的对称性可知,∴.故,得,又,,,.∴椭圆C的标准方程为
(Ⅱ)显然,直线NA的斜率存在,且不为0,设直线NA的方程为.
代入椭圆C的方程,得.
由题知,,得,
设,,则,,.
∴直线的方程为,令,可得
.
∴
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