题目内容
【题目】已知直线 
x+y﹣ =0经过椭圆C： 
+ 
=1（a＞b＞0）的右焦点和上顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若∠AOB为钝角，求直线l的斜率k的取值范围．
【答案】
（1）解：由直线 
x+y﹣ =0，分别令y=0，x=0，可得椭圆右焦点（1，0），上顶点（0， ）．
∴c=1，b= ，a= 
=2．
∴椭圆C的标准方程为： 
=1．
（2）解：由题意可知：直线l的斜率垂直，可设直线l的方程为：y=kx﹣2．A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立 
，化为（4k2+3）x2﹣16kx+4=0，
∵△＞0，∴k2 
．
又x1+x2= 
，x1x2= 
．
∵∠AOB为钝角，∴ 
＜0，
∴x1x2+y1y2＜0，x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）＜0，化为：（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4＜0，
∴（1+k2）× ﹣2k× +4＜0，化为k2 
．解得 
，或k 
，
∴直线l的斜率k的取值范围是 
∪ 
【解析】（1）由直线 x+y﹣ =0，分别令y=0，x=0，可得椭圆右焦点（1，0），上顶点（0， ）．又a= ，即可得出．（2）由题意可知：直线l的斜率垂直，可设直线l的方程为：y=kx﹣2．A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．与椭圆方程联立化为（4k2+3）x2﹣16kx+4=0，△＞0，可得k2 ．由∠AOB为钝角，∴ ＜0，利用数量积运算性质、根与系数的关系即可得出．
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