题目内容
.已知,函数.
(1)若函数在区间内是减函数,求实数的取值范围;
(2)求函数在区间上的最小值;
(3)对(2)中的,若关于的方程有两个不相等的实数解,
求实数的取值范围.
(1)若函数在区间内是减函数,求实数的取值范围;
(2)求函数在区间上的最小值;
(3)对(2)中的,若关于的方程有两个不相等的实数解,
求实数的取值范围.
解:∵,∴.………………………1分
∵函数在区间内是减函数,∴在上恒成立.…………2分
即在上恒成立,……………………………………………………3分
,∴.
故实数的取值范围为.………………………………………………4分
(2)解:∵,令得.………………5分
①若,则当时,,所以在区间上是增函数,
所以.………………………………………………6分
②若,即,则当时,,所以在区间上是增函数,
所以.……………………………………………7分
③若,即,则当时,;当时,.
所以在区间上是减函数,在区间上是增函数.
所以.………………………………………8分
④若,即,则当时,,所以在区间上是减函数.
所以.……………………………………………9分
综上所述,函数在区间的最小值……………10分
(3)解:由题意有两个不相等的实数解,
即(2)中函数的图像与直线有两个
不同的交点.…………………………………………………………11分
而直线恒过定点,
由右图知实数的取值范围是.…………………………14分
∵函数在区间内是减函数,∴在上恒成立.…………2分
即在上恒成立,……………………………………………………3分
,∴.
故实数的取值范围为.………………………………………………4分
(2)解:∵,令得.………………5分
①若,则当时,,所以在区间上是增函数,
所以.………………………………………………6分
②若,即,则当时,,所以在区间上是增函数,
所以.……………………………………………7分
③若,即,则当时,;当时,.
所以在区间上是减函数,在区间上是增函数.
所以.………………………………………8分
④若,即,则当时,,所以在区间上是减函数.
所以.……………………………………………9分
综上所述,函数在区间的最小值……………10分
(3)解:由题意有两个不相等的实数解,
即(2)中函数的图像与直线有两个
不同的交点.…………………………………………………………11分
而直线恒过定点,
由右图知实数的取值范围是.…………………………14分
略
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