Question

5．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为5，点D，E，F分别是BB₁，AA₁，CC₁，的中点，若侧棱AA₁与底面三角形的相邻两边都成60°角，则四棱锥D-A₁C₁EF的体积是（　　）

• A． $\frac{{20\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{20\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{50\sqrt{2}}}{9}$
• D． $\frac{{50\sqrt{3}}}{9}$

Answer 1

分析 作A₁O⊥面ABC，垂足为O，连接AO，过O作OG⊥AC，垂足为G，连接A₁G，由题意可知AO平分∠BAC，然后通过解直角三角形求得A₁O，即三棱柱的高，再求出底面三角形的面积，由四棱锥D-A₁C₁EF的体积是原三棱柱体积的三分之一求得答案．

解答 解：斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面是边长为4的正三角形，侧棱长为5，
如图所示：
作A₁O⊥面ABC，垂足为O，连接AO，
过O作OG⊥AC，垂足为G，连接A₁G，
∵底面是边长为4的正三角形，侧棱AA₁与底面相邻两边都成60°，
∴AO平分∠BAC，则∠OAG=30°，
∵A₁O⊥面ABC，∴A₁O⊥AG，
又OG⊥AG，且A₁O∩OG=O，∴AG⊥平面A₁OG，则AG⊥A₁G．
设A₁O=x，又AA₁=5，得$AO=\sqrt{25-{x}^{2}}$，
∴$OG=\frac{1}{2}\sqrt{25-{x}^{2}}$，
在Rt△A₁GA中，由AA₁=5，∠A₁AG=60°，得${A}_{1}G=\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
在Rt△A₁OG中，则${A}_{1}{O}^{2}+O{G}^{2}={A}_{1}{G}^{2}$，
∴${x}^{2}+（\frac{1}{2}\sqrt{25-{x}^{2}}）^{2}=（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}$，解得：$x=\frac{5\sqrt{6}}{3}$．
又${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，
∴${V}_{D-{A}_{1}{C}_{1}FE}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•{A}_{1}O$=$\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×\frac{5\sqrt{6}}{3}=\frac{20\sqrt{2}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了空间几何体的体积，考查数学转化思想方法，明确四棱锥D-A₁C₁EF的体积是原三棱柱体积的三分之一是关键，属于中档题．