Question

17．△ABC的面积为S，α是三角形的内角，O是平面ABC内一点，且满足$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OA}$+sinα$\overrightarrow{OB}$+cosα$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则下列判断正确的是（　　）

• A． S_△AOC的最小值为$\frac{1}{2}$S
• B． S_AOB的最小值为（$\sqrt{2}$-1）S
• C． S_△AOC+S_△AOB的最大值为$\frac{1}{2}$S
• D． S_△BOC的最大值为（$\sqrt{2}$-1）S

Answer 1

分析 可先证明一个结论：${S}_{△BOC}•\overrightarrow{OA}+{S}_{△AOC}•\overrightarrow{OB}+{S}_{△AOB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，可作出图形，过A作OB的平行线，交CO延长线于M，过A作OC的平行线，交BO的延长线于N，这样得到了平行四边形AMON．而根据相似三角形的比例关系，可以用$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{AM}$，同理可用$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{AN}$，从而得出$\overrightarrow{AO}=\frac{AF}{FB}•\overrightarrow{OB}+\frac{AD}{DC}•\overrightarrow{OC}$，这时候可以说明$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△BOC}}=\frac{AF}{FB}，\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△BOC}}=\frac{AD}{DC}$，这样即可得出前面的结论．从而得到${S}_{△AOC}+{S}_{△AOB}=\frac{sinα+cosα}{\sqrt{2}+sinα+cosα}•S$，这样可以说明$\frac{sinα+cosα}{\sqrt{2}+sinα+cosα}$的最大值为$\frac{1}{2}$，从而可以找出正确选项．

解答 解：如图，连接AO，并延长AO交BC于D，连结BO并延长交AC于E，连结CO并延长交AB与F，过A作AM∥BD交CF延长线于M，作AN∥CF交BD延长线于N，则四边形AMON为平行四边形；
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$；
△AMF∽△BOF；
∴$\frac{AM}{OB}=\frac{AF}{FB}$；
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{AF}{FB}•\overrightarrow{OB}$，同理得$\overrightarrow{AN}=\frac{AD}{DC}•\overrightarrow{OC}$；
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{AF}{FB}•\overrightarrow{OB}+\frac{AD}{DC}•\overrightarrow{OC}$；
∵△AOC与△BOC有公共的底边OC，设它们的相应的高分别为h₁，h₂；
则$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△BOC}}=\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}=\frac{AF}{FB}$，$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△BOC}}=\frac{AD}{DC}$；
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△BOC}}•\overrightarrow{OB}+\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△BOC}}•\overrightarrow{OC}$；
∴${S}_{△BOC}•\overrightarrow{AO}={S}_{△AOC}•\overrightarrow{OB}+{S}_{△AOB}•\overrightarrow{OC}$；
∴${S}_{△BOC}•\overrightarrow{OA}+{S}_{△AOC}•\overrightarrow{OB}+{S}_{△AOB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
又$\sqrt{2}\overrightarrow{OA}+sinα\overrightarrow{OB}+cosα\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
∴${S}_{△AOC}+{S}_{AOB}=\frac{sinα+cosα}{\sqrt{2}+sinα+cosα}•S$=$\frac{sin（α+\frac{π}{4}）}{sin（α+\frac{π}{4}）+1}•S=[1-\frac{1}{sin（α+\frac{π}{4}）+1}]•S$；
∴$α=\frac{π}{4}$时，$1-\frac{1}{sin（α+\frac{π}{4}）+1}$取最大值$\frac{1}{2}$；
∴S_△AOC+S_△AOB的最大值为$\frac{1}{2}S$．
故选C．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，相似三角形的对应边的比例关系，向量数乘的几何意义，以及三角形的面积公式，两角和的正弦公式，分离常数法的运用．