题目内容

已知点F1，F2分别是椭圆为C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1（-c，0）作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x=
a2
c
于点Q，若直线PQ与双曲线
x2
4
-
y2
3
=1的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为（　　）
分析：将点P（-c，y1）（y1＞0）代入C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，得P（-c，
b2
a
），由过点F2作直线PF2的垂线交直线x=
a2
c
于点Q，PF2⊥QF2，得Q（
a2
c
，2a），由直线PQ与双曲线
x2
4
-
y2
3
=1的一条渐近线平行，知
2a-
b2
a
a2
c
+c
=
3
2
，由此能求出结果．
解答：解：将点P（-c，y1）（y1＞0）代入C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，
得y1=
b2
a
，
∴P（-c，
b2
a
），
∵过点F2作直线PF2的垂线交直线x=
a2
c
于点Q，PF2⊥QF2，
∴设Q（
a2
c
，y），得
b2
a
-2c
•
y
a2
c
-c
=-1，解得y=2a，∴Q（
a2
c
，2a），
∵直线PQ与双曲线
x2
4
-
y2
3
=1的一条渐近线平行，
∴
2a-
b2
a
a2
c
+c
=
3
2
，即4a-
2b2
a
=
3
c+
3
a2
c
，
整理，得2e3-
3
e2+2e-
3
=0，
解得e=
3
2
．
故选C．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，综合性强．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
（2011•聊城一模）已知点F1，F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，∠F1PF2=
π
3
，△F1PF2的面积为
3
3

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点M的坐标为(
5
4
，0)，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的k∈R，
MA
•
MB
是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．
（2012•青州市模拟）已知点F1，F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为
2
+1，且△PF1F2的最大面积为1．
（ I）求椭圆C的方程．
（ II）点M的坐标为(
5
4
，0)，过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R，
MA
•
MB
是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．
已知点F1，F2分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2（1，0）的距离的最大值为
2
+1．
（1）求椭圆C的方程．
（2）点M的坐标为（
5
4
，0），过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R，
MA
•
MB
是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．
已知点F1，F2分别为椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为+1，且△PF1F2的最大面积为1。
（1）求椭圆C的方程。
（2）点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点。对于任意的k∈R，是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。 
已知点F1，F2分别为椭圆C：的左右焦点，P是椭圆C上的一点，且的面积为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

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