题目内容
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A,B是椭圆C上的两点,△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.如果=t,求实数t的值.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A,B是椭圆C上的两点,△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.如果=t,求实数t的值.
(1)+y2=1
(2)t=2或t=
(2)t=2或t=
(1)设椭圆C的方程为:(a>b>0),
则,解得a=,b=1,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由于A、B两点关于x轴对称,可设直线AB的方程为x=m(-<x<,且m≠0).
将x=m代入椭圆方程得|y|=,
所以S△AOB=|m| =.
解得m2=或m2=.①
又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0),
又点P在椭圆上,所以=1.②
由①②得t2=4或t2=.
又因为t>0,所以t=2或t=.
则,解得a=,b=1,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由于A、B两点关于x轴对称,可设直线AB的方程为x=m(-<x<,且m≠0).
将x=m代入椭圆方程得|y|=,
所以S△AOB=|m| =.
解得m2=或m2=.①
又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0),
又点P在椭圆上,所以=1.②
由①②得t2=4或t2=.
又因为t>0,所以t=2或t=.
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