题目内容
(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆的离心率
,一条准线方程为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若以>0)为斜率的直线
与椭圆
相交于两个不同的点
,且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求
的取值范围。
(1);(2)
解析试题分析:(1)因为椭圆的离心率
,一条准线方程为
.应用待定系数求得椭圆的标准方程.
(2)假设直线(
)方程.其中有两个参数
.联立椭圆方程.消去
即可得一个关于
的二次方程.首先由二次方程根的判别式大于零可得一个关于
的不等的关系式.其次由韦达定理写出两个根与
的关系式.写出线段
的中垂线的方程.从而可得中垂线与两坐标轴的截距.再写出垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积,依题意即可得一个关于
的等式.由这两步消去
.即可得
的取值范围.
试题解析:(1)由已知设椭圆的标准方程为,
>
>0)
由题设得解得
,
所以椭圆的标准方程为
4分
(2)由题意设直线的方程为
(
>0)
由 消去
得
①
设
则
,
=
线段的中点坐标
满足
从而线段的垂直平分线的方程为
此直线与轴,
轴的交点坐标分别为
、
由题设可得 整理得
(
>0) ②
由题意在①中有 >0 整理得
>0
将②代入得 >0 (
>0),
即 >0,
<0,即
<0
∴<
<4 所以
的取值范围是
。 12分
考点:1.待定系数求椭圆的方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.线段的垂直平分线.4.方程与不等式转化的思想.

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