Question

13．若f（x），g（x）为定义域为R，f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$，则f（x）=-$\frac{x}{（{x}^{2}+x+1）（{x}^{2}-x+1）}$．

Answer 1

分析 题目给出了相同定义域上的两个函数，且给出了两函数解析式的和，可借助于f（x）和g（x）的奇偶性，得到关于f（x）和g（x）的另一方程，联立方程组求解即可，

解答 解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，∴f（-x）=-f（x），且g（-x）=g（x）
由f（x）+g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$     ①
得f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$，
即-f（x）+g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$ ②
联立①②解得：f（x）=-$\frac{x}{（{x}^{2}+x+1）（{x}^{2}-x+1）}$．
故答案为：-$\frac{x}{（{x}^{2}+x+1）（{x}^{2}-x+1）}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性，考查了方程思想，解答此题的关键是借助于函数的奇偶性得到关于f（x）和g（x）的另外一个方程，是求函数解析式的一种方法．