Question

【题目】如图，在市中心有一矩形空地．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边上分别取点M，N，在三角形内建造假山，在以为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．

（1）若假山区域面积为，求喷泉区域面积的最小值；

（2）若，求假山区域面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设，半圆的直径，根据假山区域面积为，找到与的关系，再表示出喷泉区域面积，求最值，注意验证半圆是否在矩形空地内，即验证是否能取到最小值；

（2）由（1）根据以为直径的半圆区域在矩形广场内，求得的范围，再将假山区域面积用表示出来，再求最值.

解：（1）设，半圆的直径，半圆的圆心为O．

在直角三角形中，，所以．

因为假山区域面积为，

所以

所以，所以喷泉区域面积，

当且仅当，即时取等号．此时．

因为点O到的距离，点O到的距离，

所以，即，

，即．

所以以为直径的半圆区域一定在矩形广场内．

所以当时，取得最小值．

喷泉区域面积的最小值为．

（2）由（1）知，若，则．

所以点O到的距离，

点O到的距离，

因为以为直径的半圆区域在矩形广场内，

所以即所以．

又因为，所以．

所以假山区域面积，

因为，所以，

所以当时，假山区域面积的最大值为．