Question

2．定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非零实数x，y满足：f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1时，f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（-1）及f（1）的值；
（Ⅱ）求证：f（x）是偶函数；
（Ⅲ）解不等式：f（2）+f（x²-$\frac{1}{2}$）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别令x=y=1，x=y=-1，求出f（1）和f（-1）的值；
（Ⅱ）令x=x，y=-1，即可求出f（-x）=f（x），f（x）为偶函数
（Ⅲ）先判断函数的单调性，在根据单调性得到关于x的不等式组，解得即可．

解答 解：（Ⅰ）令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
再令x=y=-1，
则f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0，
（Ⅱ）令x=x，y=-1，
则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数；
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，
∴f（x₁）=f（x₂•$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₂）+f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴f（x）在（-∞，0）是减函数，
∵f（2）+f（x²-$\frac{1}{2}$）=f（2x²-1）≤0=f（1）=f（-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-1＜0}\\{2{x}^{2}-1≥-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-1＞0}\\{2{x}^{2}-1≤1}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．或-1≤x＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x≤1，
∴不等式的解集为[-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]

点评 本题考查了函数的奇偶性及单调性的证明与应用，同时考查了恒成立问题的应用，属于中档题．