题目内容
【题目】已知函数.
(1)若恒成立,求实数
的取值范围;
(2)若函数有两个不同的零点
,
,且
,求证:
.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)恒成立,等价于
时,
;当
时,
,令
,注意
,对
分类讨论求出
单调性即可求解;
(2)求,得到
的单调区间,进而求出两零点的范围是
,利用(1)的结论
,
,可得
,再由
在
减函数,可得
,得到
,建立
不等量关系,即可证明结论.
(1)由题意可得的定义域为
,
恒成立,即
恒成立,
当时,即
;当
时,即
,
构造函数,
,
令,可知
在
单调递减,在
单调递增,
当时,
,则
单调递增,故满足题意,
当时,
,
方程有两个不相等的正根
,
,
由于,所以
,因此
在
单调递增,
在单调递减,
单调递增,
因此,
,不满足题意,
综上:.
(2)由(1)可得,
,
令,
,
所以在
单调递增,在
单调递减,
所以,
,
又,
,
所以在和
各存在一个零点,由题设可知
,
因此,则
…①,
因为在
单调递减,因此
,
即,
所以…②,
由①②可得:,
化简可得.
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