Question

已知函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）g（x）=f[f（x）]，F（x）=pg（x）+f（x），问是否存在p（p＜0）使F（x）在区间（-∞，-3]上是减函数，且在区间（-3，0）内是增函数？试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）令x-2=t由整体换元的方法求函数f（x）的解析式．
（2）先根据（1）表示出F（x）的解析式，然后假设存在p使得满足条件，由减函数的定义或由减函数对应的导数小于0求出p的值．

解答：解：（Ⅰ）令x-2=t，则x=t+2．
由于f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2），
所以f（t）=a（t+2）²-（a-3）（t+2）+（a-2）
=at²+3（a+1）t+（3a+4）
∴f（x）=ax²+3（a+1）x+（3a+4）
∵y=f（x）的图象关于y轴对称
∴a≠0且3（a+1）=0，即a=-1
故f（x）=-x²+1
（Ⅱ）g（x）=f[f（x）]=-（-x²+1）²+1
=-x⁴+2x²F（x）=pg（x）+f（x）=-px⁴+（2p-1）x²+1
设存在p（p＜0），使F（x）满足题目要求，
则当-∞＜x₁＜x₂≤-3时，
F（x）是减函数，即F（x₁）-F（x₂）
=（x₁²-x₂²）[2p-1-p（x₁²+x₂²）]＞0
由假设-x₁＞-x₂≥3＞0，∴x₁²＞x₂²＞9
∴2p-1-p（x₁²+x₂²）＞0 ①
又p＜0，x₁²+x₂²＞18∴-p（x₁²+x₂²）＞-18p
∴2p-1-p（x₁²+x₂²）＞2p-1-18p=-16p-1
要使①式恒成立，只须-16p-1≥0即p≤-

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又当-3＜x₁＜x₂＜0时，F（x）是增函数，
即F（x₁）-F（x₂）＜0，也就是2p-1-p（x₁²+x₂²）＜0 ②
此时0＜-x₂＜-x₁＜3．x₁²+x₂²＜18-p（x₁²+x₂²）＜-18p，
2p-1-p（x₁²+x₂²）＜-16p-1
要使②式恒成立，只须-16p-1≤0即p≥-

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故存在p=-

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满足题目要求．
另解：依题意F（-3）是F（x）的极小值，∴F′（-3）=0．
∵F'（x）=-4px³+2（2p-1）x，∴-4p（-3）³+2（2p-1）（-3）=0，
即p=-

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．当p=-

1

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时，
F(x)=

1

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x4-

9

8

x2+1，F′(x)=

1

4

x3-

9

4

x=

1

4

x(x2-9)
∴当x＜-3时，F'（x）＜0，F（x）在（-∞，-3]上是减函数；
当x∈（-3，0）时，F（x）是增函数．
故存在p=-

1

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满足题目要求．

点评：本题主要考查求函数解析式和根据函数单调性求值的问题．求函数的解析式时一般用换元法、凑配法、方程法等．函数的单调性经常与函数的导数值的正负联系起来，即当导数大于0时函数单调递增，当导数小于0时函数单调递减．