题目内容
7．若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值是（ ）| A． | 9 | B． | 14 | C． | 15 | D． | 16 |
分析 根据对称性求出a，b，利用导数研究函数的最值即可．
解答 
解：∵f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=2对称，
∴f（1）=f（3），f（-1）=f（5），
即$\left\{\begin{array}{l}{9+3a+b=0}\\{25+5a+b=0}\end{array}\right.$，解得a=-8，b=15，
即f（x）=（1-x2）（x2-8x+15）=-x4+8x3-14x2-8x+15，
则f′（x）=-4x3+24x2-28x-8=-4（x-2）（x2-4x-1），
由f′（x）=0，解得x=2或x=2+$\sqrt{5}$或x=2-$\sqrt{5}$，
由f′（x）＞0，解得2＜x＜2+$\sqrt{5}$或x＜2-$\sqrt{5}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得2-$\sqrt{5}$＜x＜2或x＞2+$\sqrt{5}$，此时函数单调递减，
作出对应的函数图象如图：
则当x=2-$\sqrt{5}$或2+$\sqrt{5}$时，函数f（x）取得极大值同时也是最大值
则f（2+$\sqrt{5}$）=16，
故选：D．
点评 本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出a，b的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强．
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