题目内容

20.已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)f(x)+f(2-x)=0,(2)f(x-2)=f(-x),(3)在[-1,1]上表达式为f(x)=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}},x∈[-1,0]\\ cos(\frac{π}{2}x),x∈(0,1]\end{array}$,则函数f(x)与函数g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x},x≤0}\\{1-x,x>0}\end{array}\right.$的图象区间[-3,3]上的交点个数为(  )
A.5B.6C.7D.8

分析 由题意可得函数f(x)的图象关于点M(1,0)对称,又关于直线x=-1对称;再结合g(x)的解析式画出这2个函数区间[-3,3]上的图象,数形结合可得它们的图象区间[-3,3]上的交点个数.

解答 解:由f(x)+f(2-x)=0,可得函数f(x)的图象
关于点M(1,0)对称.
由f(x-2)=f(-x),可得函数f(x)的图象
关于直线x=-1对称.
又f(x)在[-1,1]上表达式为
f(x)=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}},x∈[-1,0]\\ cos(\frac{π}{2}x),x∈(0,1]\end{array}$,
可得函数f(x)在[-3,3]上的图象以及函数g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x},x≤0}\\{1-x,x>0}\end{array}\right.$在[-3,3]上的图象,
数形结合可得函数f(x)的图象与函数g(x)的图象区间[-3,3]上的交点个数为6,
故选:B.

点评 本题主要考查函数的图象的对称性,方程根的存在性以及个数判断,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题.

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